Monimutkaiset johdannaiset ovat kuvauksia monimutkaisten funktioiden muutosnopeuksista, jotka toimivat kuvakulmia sisältävissä arvokentissä. He kertovat matemaatikoille vaikeiden visualisoitavien toimintojen käyttäytymisestä. Kompleksifunktion f johdannainen kohdassa x0, jos sellainen on, annetaan raja-arvolla, kun x lähestyy x0: a (f (x)- f (x0))/(x- x0).
Toiminnot yhdistävät yhden kentän arvot toisen kentän arvoihin, joita kutsutaan mapiksi. Kun yksi tai molemmat näistä kentistä sisältävät numeroita, jotka ovat osa kompleksilukujen kenttää, funktiota kutsutaan kompleksifunktioksi. Monimutkaiset johdannaiset tulevat monimutkaisista funktioista, mutta kaikilla kompleksifunktioilla ei ole monimutkaista derivaattaa.
Arvonjoukkojen, joihin monimutkainen funktio kartoittaa ja mistä on peräisin, on sisällettävä kompleksilukuja. Nämä ovat arvoja, jotka voidaan esittää a + bi: llä, missä a ja b ovat reaalilukuja ja i on negatiivisen neliöjuuri, joka on kuvitteellinen luku. B: n arvo voi olla nolla, joten kaikki reaaliluvut ovat myös kompleksilukuja.
Johdannaiset ovat toimintojen muutosnopeuksia. Yleensä johdannainen on muutosyksiköiden mitta yhdellä akselilla jokaisen toisen akselin yksikön osalta. Esimerkiksi kaksiulotteisen kuvaajan vaakasuoralla viivalla olisi derivaatta nolla, koska jokaisella x-yksiköllä y-arvo muuttuu nollalla. Useimmiten käytetyt hetkelliset johdannaiset antavat muutosnopeuden käyrän yhdessä pisteessä eikä vaihteluvälillä. Tämä derivaatta on suoran kaltevuus, joka on tangentti halutun pisteen käyrään.
Johdannaista ei kuitenkaan ole kaikkialla kaikissa funktioissa. Jos funktiossa on esimerkiksi kulma, johdannaista ei ole kulmassa. Tämä johtuu siitä, että johdannainen määritellään rajalla, ja jos johdannainen hyppää arvosta toiseen, raja on olematon. Funktion, jolla on johdannaisia, sanotaan olevan eriytettävä. Yksi edellytys monimutkaisten toimintojen erilaistumiselle on, että osaderivaattojen tai kunkin akselin johdannaisten on oltava olemassa ja niiden on oltava jatkuvia kyseisessä kohdassa.
Monimutkaisten funktioiden, joilla on monimutkaisia johdannaisia, on myös täytettävä ehdot, joita kutsutaan Cauchy-Riemann-funktioiksi. Nämä edellyttävät, että kompleksiset johdannaiset ovat samat riippumatta siitä, miten toiminto on suunnattu. Jos funktioiden määrittämät ehdot täyttyvät ja osajohdannaiset ovat jatkuvia, funktio on monimutkainen eriytettävä.