Poincaré -olettamus on yksi modernin matematiikan tärkeimmistä oletuksista, ja se on tällä hetkellä osoitettu riittävästi siinä määrin, että sitä pidetään täydellisenä lauseena. Se on yksi Clay Mathematics Institutein vuonna 2000 ilmoittamista seitsemästä vuosituhannen palkinto -ongelmasta. Tähän mennessä se on ainoa vuosituhannen palkinnon ongelmista, jotka on ratkaistu, ja sen ratkaisua pidettiin yhtenä maailman tärkeimmistä löydöistä. uusi vuosituhat.
20 -luvun alussa ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré alkoi esittää, mikä toimisi pohjana matematiikan topologialle. Yksi hänen pääpainoistaan oli pallojen ominaisuudet, ja hän käytti paljon huomiota ja energiaa alueen hahmottamiseen. Hän esitti useita kysymyksiä, mutta tunnetuin muotoiltiin seuraavasti: ”Harkitse pienikokoista kolmiulotteista jakotukia V ilman rajoja. Onko mahdollista, että V: n perusryhmä voi olla triviaali, vaikka V ei olekaan homeomorfinen kolmiulotteiselle sfäärille? ” Vaikka hän ei koskaan tehnyt konkreettista lausuntoa tavalla tai toisella, tämä tunnetaan Poincaré -oletuksena.
Yleisempi Poincaré-oletuksen muoto on yksinkertaisesti: Jokainen yksinkertaisesti kytketty, suljettu 3-jakotukki on homeomorfinen 3-pallon kanssa. Poincaré-olettamus yleistettiin myös yli kolmen ulottuvuuden muotoon n-pallo. Vaikka alun perin uskottiin, että Poincaré -olettamus itsessään olisi totta, yleisen Poincaré -oletuksen uskottiin olevan väärä. Siksi oli yllätys, kun yleistynyt Poincaré-olettamus todistettiin yli neljälle mitalle vuonna 1961 ja sitten vuonna 1982, kun 4-pallon tapaus osoittautui todeksi.
Vuonna 1982 Richard Hamilton osoitti, että Poincaré -olettamus piti paikkansa useissa erikoistapauksissa, mutta ei pystynyt todistamaan sitä yleisemmin. Vuonna 2000 Clay Mathematics Institute sisällytti Poincaré -oletuksen Millennium Prize -ongelmiinsa ja tarjosi 1,000,000 2002 2003 dollarin (USD) palkinnon ratkaisusta, joka osoittautui tyydyttäväksi. Vuosina XNUMX ja XNUMX matemaatikko Grigori Perelman julkaisi kaksi artikkelia, joissa esitettiin luonnos todisteeksi Poincaré -oletuksesta.
Vuonna 2006 useat työryhmät täyttivät Perelmanin työn pieniä aukkoja, ja John Morgan ja Gang Tian kirjoittivat sen yksityiskohtaiseksi todisteeksi. Lopulta he laajensivat tämän kirjaksi Poincaré -olettamuksesta, ja vuonna 2006 Morgan julisti, että Perelman oli ratkaissut ongelman vuonna 2003. Perelman sai työstään Fields -mitalin, mutta hän kieltäytyi siitä. Vaikka hän ratkaisi teknisesti myös Millennium -palkinnon ja on siten oikeutettu saamaan 1 miljoonan dollarin dollarin, hän ei ole ryhtynyt tarvittaviin toimiin palkinnon lunastamiseksi.
Poincaré -oletuksen ratkaisua pidettiin suurena läpimurtona matematiikassa ja yhtenä uuden vuosituhannen tärkeimmistä todisteista. Vuoden 2006 lopussa Science -lehti nimesi Poincaré Conjecturen ratkaisun vuoden tieteelliseksi läpimurtoksi. Tämä oli ensimmäinen kerta, kun kunnia oli koskaan myönnetty läpimurtolle puhtaassa matematiikassa.