Binomikertoimet määrittelevät yhdistelmien määrän, jotka ovat mahdollisia, kun tietyn määrän tuloksia valitaan tietyn kokoisesta joukosta. Niitä käytetään binomilauseessa, joka on menetelmä binomialin laajentamiseksi – polynomifunktio, joka sisältää kaksi termiä. Esimerkiksi Pascalin kolmio koostuu yksinomaan binomikertoimista.
Matemaattisesti binomikertoimet kirjoitetaan kahdeksi numeroksi, jotka on kohdistettu pystysuoraan suluissa. Ylin numero, jota edustaa ”n”, on mahdollisuuksien kokonaismäärä. Yleensä “r” tai “k”, alempi luku on järjestämättömien tulosten määrä, joka valitaan “n”: stä. Molemmat luvut ovat positiivisia, ja “n” on suurempi tai yhtä suuri kuin “r”.
Binomiokerroin tai lukuisia tapoja, joilla r voidaan valita n: stä, lasketaan kertoimien avulla. Faktorioli on numero kertaa seuraavan pienin luku kertaa seuraavan pienimmän luvun ja niin edelleen, kunnes kaava saavuttaa yhden. Se esitetään matemaattisesti n: nä! = n (n – 1) (n – 2)… (1). Nollakerroin on yhtä.
Binomikertoimelle kaava on n tekijä (n!) Jaettuna tulolla (n – r)! kertaa r !, jota voidaan yleensä pienentää. Jos n on esimerkiksi 5 ja r on 2, kaava on 5!/(5 – 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Tässä tapauksessa 3*2*1 on sekä osoittimessa että nimittäjässä, joten se voidaan peruuttaa murto -osasta. Tuloksena on (5*4)/(2*1), joka on 10.
Binomi -lause on tapa laskea binomifunktion laajeneminen, jota edustaa (a + b)^n – a plus b n. Potenssiin; a ja b voivat koostua muuttujista, vakioista tai molemmista. Binomialin laajentamiseksi laajennuksen ensimmäinen termi on binomikerroin n ja 0 kertaa a^n. Toinen termi on binomikerroin n ja 1 kertaa a^(n-1) b. Jokainen laajenemisen seuraava termi lasketaan lisäämällä 1 binomikertoimen alimpaan lukuun, nostamalla a potentiaaliin n miinus tämä luku ja korottamalla b kyseisen luvun potenssiin, kunnes kerroimen alin luku on n.
Jokainen Pascalin kolmion luku on binomiokerroin, joka voidaan laskea binomikertoimien kaavan avulla. Kolmio alkaa 1: llä yläpisteessä, ja jokainen alemman rivin numero voidaan laskea lisäämällä kaksi sen yläpuolella olevaa viivaa. Pascalin kolmiolla on useita ainutlaatuisia matemaattisia ominaisuuksia – binomikertoimien lisäksi se sisältää myös Fibonacci- ja figuratiivilukuja.