Matematiikassa monimutkainen konjugaatti on kaksikomponenttisen luvun pari, jota kutsutaan kompleksiluvuksi. Jokaisella näistä kompleksiluvuista on reaalilukukomponentti, joka on lisätty kuvitteelliseen komponenttiin. Vaikka niiden arvo on sama, kompleksisen konjugaattiluvun parin yhden kuvitteellisen komponentin merkki on vastakkainen toisen merkin kanssa. Huolimatta kuvitteellisista komponenteista, monimutkaisia konjugaatteja käytetään kuvaamaan fyysisiä todellisuuksia. Monimutkaisten konjugaattien käyttö toimii kuvitteellisten komponenttien läsnäolosta huolimatta, koska kun nämä kaksi komponenttia kerrotaan yhdessä, tulos on reaaliluku.
Kuvitteellisilla luvuilla tarkoitetaan mitä tahansa numeroita, jotka neliönä tuottavat todellisen negatiivisen luvun. Tämä voidaan toistaa muilla termeillä yksinkertaistamiseksi. Kuvitteellinen luku on mikä tahansa reaaliluku kerrottuna negatiivisen neliöjuurella (-1)-itsessään käsittämätön. Tässä muodossa monimutkainen konjugaatti on numeropari, joka voidaan kirjoittaa, y = a+bi ja y = a – bi, missä “i” on -1: n neliöjuuri. Formalistisesti kahden y-arvon erottamiseksi toinen on yleensä kirjoitettu palkkiin kirjaimen, päälle, vaikka joskus käytetään tähtiä.
Jos osoitat, että kahden kompleksisen konjugaattiluvun kertominen tuottaa todellisen tuloksen, harkitse esimerkkiä y = 7+2i ja ӯ = 7–2i. Näiden kahden kertominen antaa yӯ = 49+14i – 14i – 4i2 = 49+4 = 53. Tällainen todellinen tulos monimutkaisesta konjugaattien lisääntymisestä on tärkeä, erityisesti kun otetaan huomioon järjestelmät atomi- ja aliatomisella tasolla. Usein matemaattiset lausekkeet pienille fyysisille järjestelmille sisältävät kuvitteellisen komponentin. Kurinalaisuus, jossa tämä on erityisen tärkeää, on kvanttimekaniikka, hyvin pienen ei-klassinen fysiikka.
Kvanttimekaniikassa hiukkasesta koostuvan fyysisen järjestelmän ominaisuudet kuvataan aaltoyhtälöllä. Kaikki mitä on opittava järjestelmän hiukkasesta, voidaan paljastaa näillä yhtälöillä. Usein aaltoyhtälöissä on kuvitteellinen komponentti. Yhtälön kertominen sen monimutkaisella konjugaatilla johtaa fyysisesti tulkittavaan “todennäköisyystiheyteen”. Hiukkasen ominaisuudet voidaan määrittää manipuloimalla matemaattisesti tätä todennäköisyystiheyttä.
Esimerkiksi todennäköisyystiheyden käyttö on tärkeää atomien säteilyn erillisessä spektrisäteilyssä. Tällaista todennäköisyystiheyden soveltamista kutsutaan ”syntyneen todennäköisyyden” saksalaisen fyysikon Max Bornin mukaan. Tärkeää läheisesti liittyvää tilastollista tulkintaa, jonka mukaan kvanttijärjestelmän mittaus antaa tiettyjä erityistuloksia, kutsutaan Born -sääntöön. Max Born sai vuoden 1954 fysiikan Nobelin palkinnon työstään tällä alalla. Valitettavasti yritykset johtaa Born -sääntö muista matemaattisista johdannaisista ovat tuottaneet ristiriitaisia tuloksia.