Joukkoteoria muodostaa suurimman osan modernin matematiikan perustasta, ja se virallistettiin 1800 -luvun lopulla. Joukkoteoria kuvaa joitain hyvin perustavanlaatuisia ja intuitiivisia ajatuksia siitä, miten elementteiksi tai jäseniksi kutsutut asiat sopivat yhteen ryhmiin. Ideoiden ilmeiseltä yksinkertaisuudesta huolimatta joukkoteoria on melko tiukka. Matemaatikot ovat pyrkineet poistamaan kaiken teoriansa mielivallan, ja he ovat hienosäätäneet joukkoteoriaa vaikuttavaan määrään vuosien varrella.
Joukoteoriassa joukko on mikä tahansa hyvin määritelty elementtien tai jäsenten ryhmä. Joukkoja symboloivat yleensä kursivoidut isot kirjaimet, kuten A tai B. Jos kaksi sarjaa sisältävät samat jäsenet, ne voidaan näyttää vastaavina yhtäläisyysmerkillä.
Joukon sisältö voidaan kuvata yksinkertaisella englanniksi: A = kaikki maanpäälliset nisäkkäät. Sisältö voidaan myös luetella suluissa: A = {karhut, lehmät, siat jne.} Suurissa sarjoissa voidaan käyttää ellipsiä, jos sarjan kuvio on ilmeinen. Esimerkiksi A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Yhdessä sarjatyypissä on nolla jäsentä, joukko tunnetaan tyhjänä joukkona. Sitä symboloi nolla, jonka diagonaalinen viiva nousee vasemmalta oikealle. Vaikka se näyttääkin triviaalilta, se osoittautuu matemaattisesti varsin tärkeäksi.
Jotkut sarjat sisältävät muita sarjoja, joten ne on merkitty supersetsiksi. Sisältyvät joukot ovat osajoukkoja. Joukoteoriassa tätä suhdetta kutsutaan “sisällyttämiseksi” tai “eristämiseksi”, jota symboloi merkintä, joka näyttää U -kirjaimelta, joka on käännetty 90 astetta oikealle. Graafisesti tämä voidaan esittää ympyränä, joka on toisen, suuremman ympyrän sisällä.
Joitakin joukkoteorian yleisiä joukkoja ovat N, kaikkien luonnollisten lukujen joukko; Z, kaikkien kokonaislukujen joukko; Q, kaikkien järkevien numeroiden joukko; R, kaikkien todellisten numeroiden joukko; ja C, kaikkien kompleksilukujen joukko.
Kun kaksi sarjaa on päällekkäin, mutta kumpikaan ei ole täysin upotettu toiseen, koko asiaa kutsutaan joukkojen liittoksi. Tätä kuvaa symboli, joka muistuttaa kirjainta U, mutta hieman leveämpää. Joukkomerkinnöissä AUB tarkoittaa “elementtien joukkoa, jotka ovat joko A: n tai B: n jäseniä”. Käännä tämä symboli ylösalaisin ja saat A: n ja B: n leikkauspisteen, joka viittaa kaikkiin elementteihin, jotka ovat molempien joukkojen jäseniä. Joukoteoriassa sarjoja voidaan myös “vähentää” toisistaan, jolloin saadaan täydennyksiä. Esimerkiksi B – A vastaa elementtien joukkoa, jotka ovat B: n jäseniä, mutta eivät A: ta.
Edellä olevista perusteista suurin osa matematiikasta on johdettu. Lähes kaikki matemaattiset järjestelmät sisältävät ominaisuuksia, joita voidaan kuvata perusteellisesti joukkoteorian avulla.