Coset on tietyntyyppinen matemaattisen ryhmän osajoukko. Voidaan esimerkiksi harkita lukujen 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …} kaikkien integraalikerranoiden joukkoa, jota voidaan merkitä 7Z:llä. Kun kuhunkin numeroon lisätään 3, syntyy joukko {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, jota matemaatikot kuvailevat 7Z + 3:ksi. Tätä jälkimmäistä joukkoa kutsutaan 7:n generoimaksi 3Z:n kosetiksi.
7Z:llä on kaksi tärkeää ominaisuutta. Jos luku on 7:n kerrannainen, niin on myös sen additiivinen käänteisluku. 7:n additiivinen käänteisarvo on -7, additiivinen käänteisluku 14 on -14 ja niin edelleen. Lisäksi 7:n kerrannaisen lisääminen toiseen 7:n kerrannaiseen tuottaa 7:n kerrannaisen. Matemaatikot kuvaavat tätä sanomalla, että 7:n kerrannaiset ovat “suljettuja” yhteenlaskettaessa.
Näiden kahden ominaisuuden vuoksi 7Z:tä kutsutaan yhteenlaskettavien kokonaislukujen alaryhmäksi. Ainoastaan alaryhmillä on omat osat. Kaikkien kuutiolukujen joukolla, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, ei ole kosettejä samalla tavalla kuin 7Z:llä, koska se ei ole suljettu summauksen yhteydessä: 1 + 8 = 9 ja 9 eivät ole kuutioluku. Vastaavasti kaikkien positiivisten parillisten lukujen joukolla {2, 4, 6, …} ei ole kosettejä, koska se ei sisällä käänteisiä.
Syynä näihin ehtoihin on, että jokaisen numeron tulee olla täsmälleen samassa sarjassa. Tapauksessa {2, 4, 6, …} 6 on luvun 4 luomassa kosetissa ja luvun 2 luomassa kosetissa, mutta nämä kaksi kosettia eivät ole identtisiä. Nämä kaksi kriteeriä riittävät varmistamaan, että jokainen elementti on täsmälleen samassa sarjassa.
Cosetteja on missä tahansa ryhmässä, ja jotkut ryhmät ovat paljon monimutkaisempia kuin kokonaisluvut. Hyödyllinen ryhmä, jota voitaisiin harkita, on joukko kaikkia tapoja siirtää neliötä muuttamatta sen peittämää aluetta. Jos neliötä käännetään 90 astetta, siinä ei ole ilmeistä muutosta. Vastaavasti sitä voidaan kääntää pystysuunnassa, vaakasuunnassa tai kumman tahansa diagonaalin poikki muuttamatta neliön peittämää aluetta. Matemaatikot kutsuvat tätä ryhmää D4:ksi.
D4:ssä on kahdeksan elementtiä. Kahden elementin katsotaan olevan identtisiä, jos ne jättävät kaikki kulmat samaan paikkaan, joten neliön kiertäminen myötäpäivään neljä kertaa katsotaan samaksi kuin tekemättä jättäminen. Tätä silmällä pitäen kahdeksan elementtiä voidaan merkitä e, r, r2, r3, v, h, dd ja dd. “e” tarkoittaa tekemättä mitään, ja “r2” tarkoittaa kahden kierroksen tekemistä. Jokainen neljästä viimeisestä elementistä viittaa neliön kääntämiseen: pystysuoraan, vaakasuoraan tai sen ylöspäin tai alaspäin kallistuvia lävistyksiä pitkin.
Kokonaisluvut ovat Abelin ryhmä, mikä tarkoittaa, että sen toiminta täyttää kommutatiivisen lain: 3 + 2 = 2 + 3. D4 ei ole Abelin ryhmä. Neliön kääntäminen ja sen jälkeen vaakasuoraan kääntäminen ei liikuta kulmia samalla tavalla kuin sen kääntäminen ja sen jälkeen kääntäminen.
Työskennellessään ei-kommutatiivisissa ryhmissä matemaatikot käyttävät tyypillisesti *-merkkiä kuvaamaan toimintoa. Pieni työ osoittaa, että neliön pyörittäminen ja sitten kääntäminen vaakasuunnassa, r * h, on sama kuin kääntäminen sen alaspäin lävistäjänsä yli. Siten r * h = dd. Neliön kääntäminen ja sen jälkeen sen kiertäminen vastaa sen kääntämistä ylöspäin lävistäjän poikki, joten r * h = du.
Tilausasiat D4:ssä, joten hintaa kuvattaessa on oltava tarkempi. Kun työskennellään kokonaisluvuilla, ilmaus “7Z:n kosetti, jonka muodostaa 3” on yksiselitteinen, koska sillä ei ole väliä, lisätäänkö 3 jokaisen 7:n kerrannaisen vasemmalle vai oikealle puolelle. D4:n alaryhmälle kuitenkin eri järjestykset luoda erilaisia asusteita. Aiemmin kuvattuihin laskelmiin perustuen r*H, r:n generoima H:n vasen kosetti — on {r, dd}, mutta H*r on yhtä kuin (r, du}. Vaatimus, että mikään elementti ei ole kahdessa eri kosetissa, ei päde kun verrataan oikeaa kosettia vasempaan kosetteihin.
H:n oikeat kosetit eivät vastaa sen vasenta kosettia. Kaikki D4:n alaryhmät eivät jaa tätä ominaisuutta. Voidaan tarkastella neliön kaikkien rotaatioiden alaryhmää R, R={e, r, r2, r3}.
Pieni laskelma osoittaa, että sen vasen kosetti on sama kuin sen oikea kosetti. Tällaista alaryhmää kutsutaan normaaliksi alaryhmäksi. Normaalit alaryhmät ovat erittäin tärkeitä abstraktissa algebrassa, koska ne koodaavat aina ylimääräistä tietoa. Esimerkiksi R:n kaksi mahdollista kosettia vastaavat kahta mahdollista tilannetta “neliö on käännetty” ja “neliötä ei ole käännetty”.