Matriisit ovat matemaattisia objekteja, jotka muuttavat muotoja. Neliömatriisin A determinantti, jota merkitään | A |, on luku, joka tiivistää vaikutuksen A vaikutuksen kuvan kokoon ja suuntaan. Jos [ab] on A: n ylärivivektori ja [cd] on sen alarivivektori, niin | A | = ad-bc.
Determinantti koodaa hyödyllistä tietoa siitä, miten matriisi muuttaa alueita. Determinantin absoluuttinen arvo osoittaa matriisin mittakaavakertoimen, kuinka paljon se venyttää tai kutistaa lukua. Sen merkki kuvaa, kääntääkö matriisi lukuja ympäri, jolloin saadaan peilikuva. Matriisit voivat myös vääristää alueita ja kiertää niitä, mutta determinantti ei anna näitä tietoja.
Aritmeettisesti matriisin muuntava toiminta määritetään matriisin kertomalla. Jos A on 2 × 2 -matriisi, jossa on ylärivi [ab] ja alarivi [cd], niin [1 0] * A = [ab] ja [0 1] * A = [cd]. Tämä tarkoittaa, että A vie pisteen (1,0) pisteeseen (a, b) ja pisteen (0,1) kohtaan (c, d). Kaikki matriisit jättävät alkuperän muuttamatta, joten voidaan nähdä, että A muuntaa kolmion, jonka päätepisteet ovat (0,0), (0,1) ja (1,0), toiseen kolmioon, jonka päätepisteet ovat (0,0), (a , b) ja (c, d). Tämän uuden kolmion pinta-alan suhde alkuperäiseen kolmioon on yhtä suuri kuin | ad-bc |, absoluuttinen arvo | A |.
Matriisin determinantin merkki kuvaa, kääntääkö matriisi muodon ympäri. Ottaen huomioon kolmion, jonka päätepisteet ovat (0,0), (0,1) ja (1,0), jos matriisi A pitää pisteen (0,1) paikallaan samalla kun piste (1,0) on piste (-1,0), niin se on kääntänyt kolmion suoran x = 0. Koska A on kääntänyt luvun ympäri, | A | tulee olemaan negatiivinen. Matriisi ei muuta alueen kokoa, joten | A | on oltava -1, jotta se olisi yhdenmukainen säännön kanssa, jonka mukaan | A | kuvaa kuinka paljon A venyttää hahmoa.
Matriisiaritmeetti noudattaa assosiatiivista lakia, eli (v*A)*B = v*(A*B). Geometrisesti tämä tarkoittaa sitä, että yhdistetty toiminta, jossa muoto ensin muutetaan matriisin A kanssa ja sen jälkeen muunnetaan matriisin B kanssa, vastaa alkuperäisen muodon muuttamista tuotteen kanssa (A*B). Tästä havainnosta voidaan päätellä, että | A |*| B | = | A*B |.
Yhtälö | A | * | B | = | A*B | on tärkeä seuraus, kun | A | = 0. Siinä tapauksessa A: n toimintaa ei voida kumota jollain muulla matriisilla B. Tämä voidaan päätellä huomauttamalla, että jos A ja B olisivat käänteisiä, (A*B) ei venytä eikä käännä mitään aluetta, joten | A* B | = 1. Koska | A | * | B | = | A * B |, tämä viimeinen havainto johtaa mahdottomaan yhtälöön 0 * | B | = 1.
Käänteinen väite voidaan myös näyttää: jos A on neliömatriisi, jolla on nollasta poikkeava determinantti, niin A: lla on käänteinen. Geometrisesti tämä on minkä tahansa matriisin toiminta, joka ei litistä aluetta. Esimerkiksi neliön leikkaaminen viivaosuudeksi voidaan kumota jollakin muulla matriisilla, jota kutsutaan sen käänteiseksi. Tällainen käänteisarvo on vastavuoroisen matriisianalogi.