18-luvun sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler kehitti kaksi yhtälöä, jotka ovat tulleet tunnetuiksi Eulerin kaavaksi. Yksi näistä yhtälöistä liittyy monikulmion kärkien, pintojen ja reunojen lukumäärään. Toinen kaava yhdistää viisi yleisintä matemaattista vakiota toisiinsa. Nämä kaksi yhtälöä sijoittuivat toiseksi ja ensimmäiseksi tyylikkäimmäksi matemaattiseksi tulokseksi The Mathematical Intelligencerin mukaan.
Eulerin polyhedra-kaavaa kutsutaan joskus myös Euler-Descartesin lauseeksi. Siinä todetaan, että kasvojen lukumäärä plus pisteiden määrä miinus monikulmion reunojen määrä on aina kaksi. Se on kirjoitettu muodossa F + V – E = 2. Esimerkiksi kuutiossa on kuusi pintaa, kahdeksan kärkeä ja 12 reunaa. Kun kytket Eulerin kaavan, 6 + 8-12 on itse asiassa kaksi.
Tästä kaavasta on poikkeuksia, koska se pätee vain monikulmioon, joka ei leikkaa itseään. Tunnetut geometriset muodot, kuten pallot, kuutiot, tetraedrit ja kahdeksankulmat, ovat kaikki ei-leikkaavia polyhedrejä. Risteilevä monikulmio syntyisi kuitenkin, jos joku liittyisi kahteen ei-leikkaavan monikulmion kärkeen. Tällöin polyhedronilla olisi sama määrä pintoja ja reunoja, mutta yksi kärki vähemmän, joten on selvää, että kaava ei ole enää totta.
Toisaalta Eulerin kaavan yleisempi versio voidaan soveltaa itseään leikkaaviin polyhedroihin. Tätä kaavaa käytetään usein topologiassa, joka on tilaominaisuuksien tutkimus. Tässä kaavan versiossa F + V – E on yhtä suuri kuin Eulerin ominaisuus, jota usein symboloi kreikkalainen kirjain chi. Esimerkiksi sekä munkin muotoinen torus että Mobius-nauha ovat Eulerin ominaispiirteitä nolla. Eulerin ominaisuus voi olla myös alle nolla.
Toinen Eulerin kaava sisältää matemaattiset vakiot e, i, Π, 1 ja 0. E, jota usein kutsutaan Eulerin numeroksi ja joka on irrationaalinen luku, joka pyöristää arvoon 2.72. Kuvitteellinen luku i määritellään neliöjuureksi -1. Pi (Π), ympyrän halkaisijan ja ympärysmitan välinen suhde on noin 3.14, mutta kuten e, se on irrationaalinen luku.
Tämä kaava kirjoitetaan muodossa e (i*Π) + 1 = 0. Euler havaitsi, että jos Π korvattiin x: llä trigonometrisessä identiteetissä e (i*Π) = cos (x) + i*sin (x), tulos tunnettiin nyt Eulerin kaavana. Näiden viiden perusvakion yhdistämisen lisäksi kaava osoittaa myös, että irrationaalisen luvun nostaminen kuvitteellisen irrationaalisen luvun potenssiin voi johtaa reaalilukuun.