Mikä on geometrinen jakauma?

Geometrinen jakauma on erillinen todennäköisyysjakauma, joka laskee Bernoullin kokeiden lukumäärän, kunnes saavutetaan yksi menestys. Bernoullin tutkimus on riippumaton toistettava tapahtuma, jolla on kiinteä todennäköisyys p onnistumiselle ja todennäköisyys q = 1-p epäonnistumiselle, kuten kolikon kääntäminen. Esimerkkejä muuttujista, joilla on geometrinen jakauma, ovat laskea, kuinka monta kertaa noppapari on vieritettävä, kunnes 7 tai 11 on heitetty, tai tarkastella tuotteita kokoonpanolinjalla, kunnes vika löytyy.

Tätä kutsutaan geometriseksi jakaumaksi, koska sen peräkkäiset termit muodostavat geometrisen sarjan. Onnistumisen todennäköisyys ensimmäisessä kokeessa on p, todennäköisyys toisessa kokeessa on pq, todennäköisyys kolmannessa kokeessa on pq2 ja niin edelleen. Yleistetty todennäköisyys n: lle termille on pqn-1, joka on n-1 epäonnistumisen todennäköisyys peräkkäin kertaa lopullisen kokeen onnistumisen todennäköisyys. Geometrinen jakauma on erityinen esimerkki negatiivisesta binomijakaumasta, joka laskee Bernoullin kokeiden lukumäärän, kunnes saavutetaan r -menestys. Jotkut tekstit viittaavat siihen myös Pascal -jakaumana, kun taas toiset käyttävät termiä yleisemmin negatiiviselle binomijakaumalle.

Geometrinen jakauma on ainoa erillinen todennäköisyysjakauma, jolla ei ole muistia -ominaisuus, jonka mukaan aiemmin tapahtunut ei vaikuta todennäköisyyteen. Tämä on seurausta Bernoullin oikeudenkäyntien itsenäisyydestä. Jos muuttuja on esimerkiksi kuinka monta kertaa rulettipyörä on pyöritettävä, jotta se tulee mustaksi, kuinka monta kertaa pyörä tuli punaiseksi ennen laskennan alkua, ei vaikuta jakautumiseen.

Geometrisen jakauman keskiarvo on 1/p. Joten jos todennäköisyys, että kokoonpanolinjalla oleva tuote on viallinen, on 0025, odotetaan tutkivan keskimäärin 400 tuotetta ennen vian löytämistä. Geometrisen jakauman varianssit ovat q/p2.