Kaikkia tiloja, jotka eivät ole täysin tasaisia, kutsutaan kaareviksi avaruuksiksi. Pallon pinta on kaareva tila, samoin kuin satulan pinta. Pallo on esimerkki positiivisesta kaarevuudesta, mikä tarkoittaa, että jos kolmio on tehty suorilla viivoilla kaarevaan tilaan, kulmat nousevat enemmän kuin normaalit 180 astetta. Satula on esimerkki negatiivisesta kaarevasta etäisyydestä. Painovoima johtuu avaruuden kaarevuudesta – massa kaartaa tilaa, joka pakottaa esineet vetäytymään yhteen.
Pythagoraan teoriaa käytetään usein tarkistamaan, onko tila tasainen vai kaareva. Tämä matemaattinen kaava käyttää kolmion molempien sivujen pituutta kulmien sijaan. Jos pituudet vastaavat sitä, mitä lause esittää, niin kolmio on tasaisessa avaruudessa. Jos pituudet eivät täsmää lauseen kanssa, niin kolmio on kaarevassa tilassa. Kulmia on vaikea mitata pitkiä matkoja, mutta kolmion sivujen tai kehän mittaaminen voi helposti näyttää tilan luonteen.
Euklidinen geometria on muotojen tutkimus litteässä avaruudessa. Se perustuu luetteloon perustiedoista, joita kutsutaan aksioomeiksi, ja todistaa monia matemaattisia käsitteitä, kuten Pythagoraan lause. Aksomit ovat usein kiistettyjä, mikä tarkoittaa, että ne eivät aina ole totta, kaarevassa tilassa tai ei-euklidisessa geometriassa. Kaikilla kolmioilla on 180 astetta euklidista geometriaa, mikä on helppo kumota kaarevassa tilassa mittaamalla kulmat kulmalla.
Kaarevalla avaruudella on tärkeä rooli nykyaikaisessa tähtitieteessä. Painovoiman katsotaan olevan kaareva tila, joka ympäröi suurta runkoa, mikä saa pienemmät esineet kiertämään tai törmäämään suuren kappaleen kanssa. Tämä havaittiin vasta, kun Einstein julkaisi yleisen suhteellisuusteoriansa, jossa painovoima kuvattiin ensin kaarevaksi avaruudeksi. Ennen tätä tähtitieteilijät laskivat kiertoradat epätarkasti, koska avaruutta käsiteltiin kolmiulotteisena euklidisena. Nykyaikaiset tähtitieteilijät voivat laskea ja ennustaa paljon enemmän ei-euklidisen avaruuden avulla, kuten mustia aukkoja ja galaksien liikettä.
Jopa fysiikan isä Isaac Newton käytti euklidista geometriaa. Se oli ainoa tapa tutkia muotoja yli 2000 vuoden ajan. Sitten 19 -luvun lopulla Janos Bolyai kiisti aksiooman, jonka mukaan yhdensuuntaiset viivat eivät koskaan ylity. Einstein pystyi ymmärtämään ei-euklidisen geometrian ja kuinka sitä voitaisiin käyttää ennustamaan oikein Mercuryn outo kierto. Nykyaikainen näkemys on, että todellisia euklidisia muotoja on olemassa vain tiloissa, jotka ovat kaukana kaikista painovoimakappaleista.