Klein-pullo on eräänlainen ei-suunnattava pinta, jota usein kuvataan näyttävän pitkäkaulaiselta pullolta, jonka kaareva kaula kulkee sisäpuolelta avautumaan. Klein -pullon ainutlaatuinen muoto tarkoittaa, että siinä on vain yksi pinta – sen sisäpuoli on sama kuin ulkopinta. Klein-pullo ei voi todella olla olemassa kolmiulotteisessa, euklidisessa tilassa, mutta puhalletut lasiesitykset voivat antaa meille mielenkiintoisen vilauksen. Tämä ei ole todellinen Klein -pullo, mutta se auttaa visualisoimaan, mitä saksalainen matemaatikko Felix Klein kuvitteli keksiessään ajatuksen Klein -pullosta.
Klein-pulloa kuvataan ei-suunnattavaksi pinnaksi, koska jos symboli kiinnitetään pintaan, se voi liukua ympäri niin, että se voi palata samaan paikkaan kuin peilikuva. Jos kiinnität symbolin suunnattavalle pinnalle, kuten pallon ulkopuolelle, symboli pysyy samana riippumatta siitä, kuinka siirrät symbolia. Klein -pullon erikoismuoto mahdollistaa symbolin liu’uttamisen siten, että se saa eri suunnan – se voi näkyä omana peilikuvana samalla pinnalla. Tämä Klein-pullon ominaisuus tekee siitä suunnattoman.
Klein -pullo on nimetty saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin mukaan. Felix Kleinin työ matematiikassa sai hänet hyvin perehtymään Möbius -nauhaan. Möbius-nauha on paperi, joka on puoliksi kierretty ja liitetty päistä. Tämä kierre muuttaa tavallisesta paperista ei-suunnattavan pinnan. Felix Klein perusteli, että jos kiinnität kaksi Möbius -nauhaa yhteen reunoja pitkin, teet uudenlaisen pinnan, jolla on yhtä outoja ominaisuuksia – Klein -pinta tai Klein -pullo.
Valitettavasti niille meistä, jotka haluavat nähdä todellisen Klein-pullon, niitä ei voida rakentaa kolmiulotteiseen, euklidiseen tilaan, jossa elämme. Kahden Möbius -nauhan reunojen yhdistäminen Klein -pullon rakentamiseksi luo leikkauksia, joita ei voi esiintyä teoreettisessa mallissa. Klein -pullon tosielämän mallin on leikattava itsensä, kun pullon kaula ylittää sivun. Tämä antaa meille jotain, joka ei ole todellinen, toimiva Klein -pullo, mutta jota on silti varsin mielenkiintoista tutkia.
Koska Klein -pullolla on monia omituisia ominaisuuksiaan Möbius -nauhan kanssa, ne meistä, joilla ei ole syvää ymmärrystä matematiikasta, jotta voimme todella ymmärtää Klein -pullon monimutkaisuuden, voivat kokeilla Möbius -nauhaa saadakseen jonkinlaisen käsityksen Felix Kleinin kiehtovasta löydöstä .