Mikä on kosinisääntö?

Kosinussääntö on kaava, jota käytetään yleisesti trigonometriassa määrittämään ei-suorakulmaisen kolmion tietyt piirteet, kun kyseisen kolmion muut keskeiset osat tunnetaan tai ne voidaan muuten määrittää. Se on tehokas jatke Pythagoraan lauseelle, joka tyypillisesti toimii vain suorakulmaisten kolmioiden kanssa ja jossa todetaan, että kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöt yhteen laskettuna (c2 = a2+b2). Kosinussääntö on tämän matemaattisen periaatteen jatke, joka tekee siitä tehokkaan ei-suorakulmaisille kolmioille ja toteaa, että tietyn kulman osalta sitä kulmaa vastakkaisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöt laskettuna yhteen, miinus kaksi kertaa molemmat sivut kerrottuna yhdessä kyseisen kulman kosinin kanssa (c2 = a2+b2-2ab cosC, jossa C on vastakkainen sivu c).

Vaikka monet nykyaikaiset matemaattiset lähteet antavat tunnustusta muslimimatemaatikolle nimeltä al-Kashi kosinisäännön luomisesta, on myös joitain todisteita siitä, että muinaiskreikkalainen matemaatikko Eukleides oli suunnitellut samanlaisen periaatteen. Suuri osa nykyaikaisesta algebrasta ja trigonometriasta on peräisin muslimien ponnisteluista Euroopan pimeän keskiajan aikana, ja noin 15-luvulla al-Kashi kodifioi kaavan tavalla, joka ymmärretään vielä tänäkin päivänä. Ranskassa tätä sääntöä kutsutaan jopa Le théorème d’Al-Kashiksi tai “al-Kashin lauseeksi”.

Yleensä kosinisääntöä käytetään kolmioinnissa ja monissa muissa trigonometrian käytännön sovelluksissa. Se on erityisen hyödyllinen järjestelmissä, joissa kaikkien kolmen sivun pituudet ovat tiedossa tai voidaan määrittää ja kolmion sisällä olevien kulmien mitat on määritettävä. Kosinussääntöä voidaan käyttää myös kolmion yhden sivun pituuden määrittämiseen, jos kahden muun sivun pituudet tiedetään samoin kuin tätä sivua vastapäätä oleva kulma.

Koska kosinisääntö käsittelee kolmioita, jotka koostuvat kolmesta suorasta sivusta ja niiden kulmista, se toimii yleensä vain euklidisen geometrian alueella. Kosinisäännön eri versioita voidaan käyttää ei-euklidiseen geometriaan, kuten pallomainen geometria ja hyperbolinen geometria. Näissä järjestelmissä kolmio muodostuu kolmesta kaarevan tilan pisteestä ja niitä yhdistävistä viivoista, yleensä kaarevista viivoista. Kosinien hyperbolinen laki ja kosinien pallomainen laki toimivat paljon kuin Euklidisen kosinin sääntö, koska ne voivat antaa jonkun määrittää kolmion kolme kulmaa niin kauan kuin hän tuntee kolme sivua. Toisin kuin Euklidisen kosinisäännöt, nämä ei-euklidiset lait voivat kuitenkin myös antaa kenenkään määrittää kolmion kolmen sivun koon, jos hän tietää nämä kolme kulmaa.