Kroneckerin delta -funktio, merkitty δi, j, on binäärifunktio, joka on 1, jos i ja j ovat yhtä suuret ja muutoin 0. Vaikka se on teknisesti kahden muuttujan funktio, sitä käytetään käytännössä notaation pikavalintana, jolloin monimutkaiset matemaattiset lausumat voidaan kirjoittaa kompakti. Matemaatikot, fyysikot ja insinöörit, jotka työskentelevät lineaarisessa algebrassa, tensori -analyysissä ja digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, käyttävät Kroneckerin delta -toimintoa tarkoituksenmukaisena välittääkseen yhden yhtälön, mikä muutoin voisi viedä useita rivejä tekstiä.
Tätä toimintoa käytetään useimmiten yksinkertaistamaan yhtälöiden kirjoittamista, joihin liittyy sigma -merkintä, joka on itsessään tiivis menetelmä viitata monimutkaisiin summiin. Jos yrityksellä on esimerkiksi 30 työntekijää {e1, e2… e30} ja jokainen työntekijä tekee eri tuntimäärän {h1, h2… h30} eri tuntipalkalla {r1, r2… r30}, maksettu raha yhteensä näille työntekijöille heidän työnsä suhteen on e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 +… e30*h30*r30. Matemaatikot voivat kirjoittaa tämän ytimekkäästi muodossa ∑i ei*hi*ri.
Kun kuvataan fyysisiä järjestelmiä, joihin liittyy useita ulottuvuuksia, fyysikoiden on usein käytettävä kaksinkertaisia summia. Käytännön tieteelliset sovellukset ovat hyvin monimutkaisia, mutta konkreettinen esimerkki osoittaa, kuinka Kroneckerin delta -toiminto voi yksinkertaistaa lausekkeita näissä tapauksissa.
Kauppakeskuksessa on kolme vaatekauppaa, joista jokainen myy eri tuotemerkkiä. Paitoja on yhteensä 20 erilaista: kahdeksan myymälän 1 tarjoamia, seitsemän myymälän 2 tarjoamia ja viisi myymälän 3 kauppoja. Saatavilla on 1 erilaista housutyyppiä: viisi myymälässä 2, kolme kaupassa 3 ja neljä myymälässä 240. Voidaan ostaa 20 mahdollista asua, koska paitaan on 12 vaihtoehtoa ja XNUMX vaihtoehtoa housuille. Jokainen yhdistelmä tuottaa eri asun.
Ei ole niin yksinkertaista laskea, kuinka monta tapaa valita asu, jossa paita ja housut ovat eri kaupoista. Paidan voi valita myymälästä 1 ja housuja kaupasta 2 8*3 tavalla. On 8*4 tapaa valita paita myymälästä 1 ja housut kaupasta 3. Jatkamalla tällä tavalla, eri kauppojen artikkeleita käyttävien asujen kokonaismäärä on 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Paitojen ja housujen saatavuutta voitaisiin pitää kahtena sarjana, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} ja {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Sitten Kroneckerin delta-funktio sallii tämän summan kirjoittamisen yksinkertaisesti ∑i ∑jsi * pj * (1- δi, j). Termi (1- δi, j) poistaa ne asut, jotka sisältävät samasta kaupasta ostetun paidan ja housut, koska siinä tapauksessa i = j, joten δi, j = 1 ja (1- δi, j) = 0. Termin kertominen 0 poistaa sen summasta.
Kronecker-delta-funktiota käytetään useimmiten moniulotteisten tilojen analysoinnissa, mutta sitä voidaan käyttää myös tutkittaessa yksiulotteisia tiloja, kuten reaaliluku. Siinä tapauksessa käytetään usein yhden tulon varianttia: δ (n) = 1, jos n = 0; δ (n) = 0 muuten. Nähdäksesi kuinka Kronecker -delta -funktiota voidaan käyttää yksinkertaistamaan monimutkaisia matemaattisia lausuntoja todellisista luvuista, voit harkita seuraavia kahta funktiota, joiden syötteet ovat yksinkertaistettuja murto -osia:
f (a/b) = a jos a = b+1, f (a/b) = -b jos b = a+1 ja f (a/b) = 0 muuten. g (a/b) = a *δ (ab-1) –b*δ (a-b+1)
Funktiot f ja g ovat identtisiä, mutta g: n määritelmä on pienempi eikä vaadi englantia, joten sen voi ymmärtää jokainen maailman matemaatikko.
Kuten nämä esimerkit havainnollistavat, Kronecker -delta -funktion tulot ovat tyypillisesti kokonaislukuja, jotka on kytketty johonkin arvosarjaan. Dirac -deltajakauma on jatkuva analoginen Kronecker -delta -funktiolle, jota käytetään toimintojen integroinnissa sekvenssien laskemisen sijaan.