Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka pohja on e. Skotlantilainen matemaatikko John Napier (1550-1617) keksi logaritmin. Vaikka hän ei itse ottanut käyttöön luonnollisen logaritmin käsitettä, funktiota kutsutaan joskus Napierin logaritmiksi. Luonnollista logaritmia käytetään lukuisissa tieteellisissä ja teknisissä sovelluksissa.
John Napier kehitti nimen “logaritmi” yhdistelmänä kreikan sanoista logos ja aritmos. Englanninkieliset käännökset ovat “suhde” ja “numerot”. Napier työskenteli 20 vuotta logaritmiteoriansa parissa ja julkaisi työnsä kirjassa Mirifici Logarithmorum canonis descriptio vuonna 1614. Otsikon englanninkielinen käännös on A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Luonnollista logaritmia luonnehditaan e -logaritmiksi, jota joskus kutsutaan Napierin vakioksi. Tämä numero tunnetaan myös Eulerin numerona. Kirjainta “e” käytetään kunnioittamaan Leonhard Euleria (1707-1783), ja Euler käytti sitä ensimmäisen kerran kirjeessään Christian Goldbachille vuonna 1731.
Käänteinen luonnollinen eksponentiaalifunktio, määritelty f (x) = ex, on luonnollinen logaritminen funktio. Tämä funktio kirjoitetaan muodossa f (x) = ln (x). Tämä sama funktio voidaan kirjoittaa muodossa f (x) = loge (x), mutta vakiomerkinnät ovat f (x) = ln (x).
Luonnollisen logaritmin alue on (0, ääretön) ja alue on (-infinity, infinity). Tämän funktion kuvaaja on kovera, alaspäin. Toiminto itsessään kasvaa, jatkuu ja on yksi yhteen.
Luonnollinen logaritmi 1 on 0. Olettaen, että a ja b ovat positiivisia lukuja, niin ln (a*b) on yhtä suuri kuin ln (a) + ln (b) ja ln (a/b) = ln (a) – ln (b). Jos a ja b ovat positiivisia lukuja ja n on järkevä luku, kuin ln (an) = n*ln (a). Nämä luonnollisten logaritmien ominaisuudet ovat ominaisia kaikille logaritmisille funktioille.
Luonnollisen logaritmisen funktion varsinainen määritelmä löytyy integraalista 1/t dt. Integraali on 1 – x ja x> 0. Eulerin luku e merkitsee positiivista reaalilukua siten, että integraali 1/t dt 1: stä e: een on 1. Eulerin luku on irrationaalinen luku ja on suunnilleen sama numeroon 2.7182818285.
Luonnollisen logaritmisen funktion derivaatta x: n suhteen on 1/x. Logaritmisen funktion käänteisen, luonnollisen eksponentiaalifunktion, johdannainen x: n suhteen on yllättäen jälleen luonnollinen eksponentiaalifunktio. Toisin sanoen luonnollinen eksponentiaalifunktio on oma johdannainen.