Pääomaoikeudenkäynti on mikä tahansa oikeudenkäynti, jossa päätetään kuolemanrangaistuksen määräämisestä. Monilla lainkäyttöalueilla kuolemanrangaistusta kutsutaan kuolemanrangaistukseksi, ja mitä tahansa rikosoikeudenkäyntiä, jossa kuolemanrangaistus voidaan määrätä, kutsutaan kuolemantuomioksi. Yleensä vain vakavimpiin murhiin syyllistyneet henkilöt tuomitaan kuolemanrangaistukseen. Kuolemanrangaistus on tietysti vakavin ja peruuttamaton rangaistus, joten kuolemanrangaistuksella on monia erityispiirteitä. Kyse ei ole vain syytetyn syyllisyydestä vaan myös siitä, onko hän sellainen rikoksentekijä, joka tuomittiin asianmukaisesti kuolemaan.
Jotkut lainkäyttöalueet määräävät kuolemanrangaistuksen tahallisesta murhasta tai lainvalvontaviranomaisen murhasta tai muista vakavista murhista. Näillä lainkäyttöalueilla kaikki tällaista murhaa koskevat oikeudenkäynnit ovat pääomaoikeudenkäyntejä. Tällaisen pääomaoikeudenkäynnin ensimmäinen vaihe on samanlainen kuin mikä tahansa muu rikosoikeudenkäynti, eli vastaajan syyllisyyden tai viattomuuden määrittäminen.
Jos syytetty tai syytetty todetaan syylliseksi pääomakokeessa, oikeudenkäynti siirtyy rangaistusvaiheeseen. Tässä vaiheessa keskitytään siihen, onko syytetty tuomittava kuolemaan tai vankeusrangaistukseen. Esimerkiksi Yhdysvaltojen lainkäyttöalueilla, joilla on kuolemanrangaistus, tämä prosessi keskittyy usein raskauttaviin tekijöihin kuolemanrangaistuksen määräämisen puolesta ja lieventäviin tekijöihin, jotka estävät tuomion määräämisen. Näiden lieventävien ja raskauttavien tekijöiden todistaminen tai kiistäminen on tärkeä osa pääomaoikeudenkäyntejä.
Kuolemanrangaistusta käyttävät lainkäyttöalueet tarjoavat yleensä laajoja automaattisia valituksia. Jotkut rikosoikeudelliset asianajajat ovat erikoistuneet kuolemanrangaistusvalitusten käsittelyyn. Valitusten tarkoituksena on punnita huolellisesti, tukevatko todisteet vastaajan vakaumusta. He arvioivat myös muun muassa, onko syytetty tuomittu asianmukaisesti raskauttavien ja lieventävien tekijöiden perusteella kuolemantuomioon tai onko tapahtunut oikeudenkäynnin aikana menettelyvirheitä.
Maissa, joissa on kirjallinen perustuslaki, pääriita -asiat voivat myös keskittyä siihen, onko kuolemantuomio perustuslaillisesti sallittu. Esimerkiksi Yhdysvaltain perustuslaki kieltää ”julmat ja epätavalliset rangaistukset”. Valituksessa usein esiin nouseva kysymys on, onko rangaistuksen määräämisessä käytettävä täytäntöönpanomenetelmä perustuslaillinen. Jotkut pääomaoikeudenkäynteihin erikoistuneet asianajajat keskittyvät lähes kokonaan näihin perustuslaillisiin haasteisiin pikemminkin kuin yksittäistapauksiin ja yksittäistapaukseen liittyviin kysymyksiin. Näihin perustuslaillisiin kysymyksiin keskittyvä pääriita on riitauttanut esimerkiksi sen, onko tappava injektio liian julma käytettäväksi teloitusmuotona.