Parillinen funktio määritellään mikä tahansa funktio, jossa lause f (x) = f (-x) pätee kaikkiin x: n todellisiin arvoihin. Vastaavasti parillinen funktio on mikä tahansa funktio, joka on määritetty kaikille x: n todellisille arvoille ja jolla on heijastava symmetria y-akselin suhteen. Toimintojen epätavallisuus tai tasaisuus on ensisijaisesti hyödyllistä piirtämisfunktioissa.
Funktio on suhde, joka yhdistää elementit yhdestä numerojoukosta – verkkotunnuksesta, toisen joukon – alueen – elementeihin. Suhde määritellään yleensä matemaattisena yhtälönä, jossa jos verkkotunnuksen numero lisätään yhtälöön, vastauksena annetaan yksi arvo alueen sisällä. Esimerkiksi funktiolle f (x) = 3 × 2 + 1, kun x = 2 on alueesta valittu arvo, f (x) = f (2) = 13. Jos alue ja alue ovat molemmat reaalilukujen joukosta, funktio voidaan piirtää piirtämällä jokainen piste (x, f (x)), jossa x-koordinaatti on funktion alueelta ja y-koordinaatti on vastaava arvo alueelta toiminnosta.
Parillisen funktion käsitteeseen liittyy pariton funktio. Pariton funktio on funktio, jossa lause f (x) = -f (-x) kaikille x: n todellisille arvoille. Kun ne on piirretty, parittomilla funktioilla on kiertosymmetria alkuperän ympärillä.
Vaikka suurin osa funktioista ei ole parittomia eikä parillisia, parillisia funktioita on silti ääretön määrä. Vakiofunktio f (x) = c, jossa funktiolla on vain yksi arvo riippumatta siitä, mikä arvo alueesta on valittu, on parillinen funktio. Tehofunktiot, f (x) = xn, ovat jopa niin kauan kuin n on mikä tahansa parillinen kokonaisluku. Trigonometrisistä funktioista kosini ja sekantti ovat molemmat parillisia funktioita, samoin kuin vastaavat hyperboliset funktiot f (x) = cosh (x) = (ex + ex)/ 2 ja f (x) = sech (x) = 2/ ( ex + ex).
Uusia parillisia funktioita voidaan luoda muista funktioista, joiden tiedetään olevan parillisia. Kahden parillisen funktion lisääminen tai kertominen luo uuden parillisen funktion. Jos parillinen funktio kerrotaan vakioilla, tuloksena oleva funktio on parillinen. Parillisia funktioita voidaan luoda myös parittomista funktioista. Jos kaksi funktiota, joiden tiedetään olevan parittomia, kuten f (x) = x ja g (x) = sin (x), kerrotaan yhdessä, tuloksena oleva funktio, kuten h (x) = x sin (x), on parillinen .
Uusia parillisia toimintoja voidaan luoda myös koostumuksella. Sommittelutoiminto, kuten h (x) = g (f (x)), on toiminto, jossa yhden funktion – tässä tapauksessa f (x) – lähtöä käytetään toisen funktion tulona – g (x ). Jos sisin funktio on parillinen, tuloksena oleva funktio on myös parillinen riippumatta siitä, onko ulkoinen funktio parillinen, pariton vai ei. Esimerkiksi eksponenttifunktio g (x) = ex ei ole pariton eikä parillinen, mutta koska kosini on parillinen funktio, niin on myös uusi funktio h (x) = ecos (x).
Yksi matemaattinen tulos väittää, että jokainen kaikille reaaliluvuille määritelty funktio voidaan ilmaista parillisen ja parittoman funktion summana. Jos f (x) on funktio, joka on määritetty kaikille reaaliluvuille, on mahdollista rakentaa kaksi uutta funktiota, g (x) = (f (x) + f (-x))/2 ja h (x) = (f (x)-f (-x))/2. Tästä seuraa, että g (-x) = (f (-x) + f (x))/2 = (f (x) + f (-x))/2 = g (x) ja siksi g (x) on tasainen toiminto. Samoin h (-x) = (f (-x) -f (x))/2 =-(f (x) -f (-x))/2 = -h (x), joten h (x) on määritelmän mukaan pariton funktio. Jos funktiot lasketaan yhteen, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x))/2 + (f (x) -f (-x))/2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Siksi jokainen funktio f (x) on parillisen ja parittoman funktion summa.