Pi on kreikkalaisten aakkosten 16. kirjain, mutta se tunnetaan parhaiten symbolina, jota käytetään nimeämään matemaattinen suhde: ympyrän kehän ja sen halkaisijan välinen suhde. Sellaisenaan se on matemaattinen vakio ja sillä on monia käyttötarkoituksia. Ilmeisimmin sitä voidaan käyttää ympyrän kehän laskemiseen sen halkaisijasta ja päinvastoin. Muita esimerkkejä ovat kaavat ympyrän alueen ja pallon tilavuuden selvittämiseksi. Sitä edustaa usein kreikkalainen kirjaimen muoto π, ja sille annetaan yleensä arvo 3.14; Tämä on kuitenkin vain arvio, ja numerolla on joitain kiehtovia ominaisuuksia.
Tehokas
Pi:n tarkkaa arvoa ei voida sanoa. Mikään murto-osa ei ole täsmälleen sama kuin se, ja kun se ilmaistaan desimaalilukuna, desimaalipilkun jälkeen on ääretön määrä numeroita. Siksi aina, kun sitä tarvitaan laskennassa, on käytettävä approksimaatiota. Käytetty arvo riippuu siitä, kuinka tarkka laskennan tulee olla.
Joihinkin tarkoituksiin 3.14 on hyväksyttävä, kun taas toisiin voidaan tarvita esimerkiksi kahdeksan desimaalin tarkkuutta – 3.14159265. Mikään laskelma ei vaadi yli 40 desimaalin tarkkuutta. Monet ihmiset ovat käyttäneet tietokoneita tehdäkseen ennätyksellisiä laskelmia π:n arvosta; vuodesta 2013 lähtien se on laskettu 10 biljoonan desimaalin tarkkuudella. Ei kuitenkaan ole ajateltavissa olevaa sovellusta, joka vaatisi näin tarkan arvon.
käytät
Vaikka pi määritellään ympyrän halkaisijana, matemaattisissa kaavoissa käytetään yleensä sädettä, jota edustaa “r”, joten ympyrän kehän kaava on 2πr tai säde kerrottuna π kertaa kaksi. Muita yleisiä π:ää käyttäviä matemaattisia kaavoja ovat seuraavat:
ympyrän pinta-ala — πr2
pallon pinta-ala — 4πr2
pallon tilavuus — 4/3πr3
Vakiota käytetään myös laajasti
fysiikka
, tilastot ja
tekniikka
.
ominaisuudet
Pi on irrationaalinen luku, mikä tarkoittaa, että sitä ei voida ilmaista suhdelukuna tai murtolukuna, jossa on kaksi kokonaislukua, kuten 2/5 tai 7/3. Jotkut murtoluvut ovat läheisiä likiarvoja, esimerkiksi 355/113 antaa luvun oikein kuuden desimaalin tarkkuudella; Tarkkaa arvoa ei kuitenkaan saada tällä tavalla. Kun irrationaaliset luvut ilmaistaan desimaaleina, desimaalipilkun jälkeiset numerot muodostavat äärettömän, ei-toistuvan sekvenssin.
Se on myös transsendentaalinen luku, mikä tarkoittaa, että se ei voi olla juuri tai ratkaisu minkään algebrallisen yhtälön rationaalisilla kertoimilla. Yhtälön kertoimet ovat yksinkertaisesti numeroita, jotka ovat symbolien etuliitteenä; jos numeerista etuliitettä ei ole, kerroin on 1. Esimerkiksi yhtälössä 3x + y = 0 x:n ja y:n kertoimet ovat vastaavasti 3 ja 1. Se, että pi on transsendenttinen, on todiste siitä, että ikivanha ongelma “ympyrän neliöinti” – neliön rakentaminen, jonka pinta-ala on sama kuin ympyrän käyttämällä vain suoraa reunaa ja kompassia – on ratkaisematon.
Desimaalipilkun jälkeinen numerosarja näyttää olevan satunnainen. Tästä numerosta on yritetty löytää useita malleja, mutta kaikki ovat epäonnistuneet. Satunnaisuutta ei ole todistettu, mutta vuodesta 2013 lähtien sekvenssi läpäisee sille kaikki testit siltä osin kuin se on laskettu.
Historia
Muinaiset babylonialaiset ja muinaiset egyptiläiset käyttivät π:n karkeaa likiarvoa laskeen arvoja hieman yli 3.1:n. Arkhimedes, antiikin kreikkalainen matemaatikko, havaitsi arvon olevan välillä 223/71 ja 22/7. Saksalainen matemaatikko Johann Lambert totesi Pi:n vuonna 1770 irrationaaliksi, ja vuonna 1882 fyysikko Ferdinand Lindemann osoitti, että se on transsendenttinen luku. Viime vuosina arvoa on laskettu yhä useammille desimaaleille – trendi, joka näyttää jatkuvan laskentatehon kasvun myötä.
Mielenkiintoisia faktoja π:stä
Jos π:n desimaalipilkun jälkeinen numerosarja on satunnainen, tämä tarkoittaa, koska se on myös ääretön, että jokaisen ajateltavissa olevan numerosarjan, riippumatta siitä kuinka pitkä tai epätodennäköinen, täytyy esiintyä jossain sarjassa. Itse asiassa jokaisen täytyy esiintyä äärettömän monta kertaa. Numeroita voidaan käyttää edustamaan muita merkkejä, kuten aakkosten kirjaimia ja välimerkkejä. Tällä tavalla jokainen ajateltavissa oleva merkkijono voitaisiin teoriassa löytää pi:stä etsimällä riittävän määrän numeroita. Näihin jaksoihin kuuluisivat Shakespearen täydelliset teokset, kaikki tunnetut matematiikan oppikirjat ja tämä artikkeli sekä loputon määrä kirjoja, joita ei ole vielä kirjoitettu.
Jotain muuta kuin muutaman merkin pituisen merkityksellisen löytäminen edellyttäisi kuitenkin pi:n laskemista käsittämättömän monen desimaalin tarkkuudella, joka on monta suuruusluokkaa suurempi kuin nykyinen tietue. Vuodesta 2013 lähtien kuka tahansa voi yksinkertaisen verkko-ohjelman avulla etsiä merkkijonoja π:n neljästä miljardista ensimmäisestä numerosta. Tietyn pituisen merkkijonon löytämisen todennäköisyys on helppo laskea. Esimerkiksi todennäköisyys löytää tietty kymmenen merkin sekvenssi pi:n neljästä miljardista ensimmäisestä numerosta on 0.0003%.
Toistaiseksi pi:stä ei ole löydetty mitään merkitykselliseltä näyttävää. On kuitenkin kuuden peräkkäisen 9:n sarja, joka alkaa 762. numerosta. Tämä tunnetaan Feynman-pisteenä ja on nimetty fyysikon Richard Feynmanin mukaan. Sen todennäköisyys esiintyä niin aikaisessa sekvenssissä on 0.0685 %; kuitenkin, sen ajatellaan olevan vain kummallinen tapahtuma.
Monet ihmiset ovat onnistuneet muistamaan π:n suuren desimaalin tarkkuudella. Vuodesta 2013 lähtien ennätyksen katsotaan olevan 67,890 14. Päivämäärä 3. maaliskuuta (myös kirjoitettu 14.) on nimetty Yhdysvalloissa “Pi-päiväksi”, jossa järjestetään erilaisia pi-aiheisia aktiviteetteja. Tähän vakioon perustuvaa musiikkia on luotu ja romaaneja on kirjoitettu, joissa sanan pituudet ovat π:n numeroita oikeassa järjestyksessä.