Kääntöpiste on tärkeä käsite differentiaalilaskennassa. Kääntöpisteessä funktion käyrä muuttaa sen koveruutta – toisin sanoen se muuttuu negatiivisesta positiiviseksi tai päinvastoin. Tämä kohta voidaan määritellä tai visualisoida eri tavoin. Tosielämän sovelluksissa, joissa järjestelmää mallinnetaan käyrän avulla, taivutuspisteen löytäminen on usein kriittistä järjestelmän toiminnan ennakoimisessa.
Laskentafunktiot voidaan piirtää tasolle, joka koostuu x- ja y -akselista, jota kutsutaan suorakulmaiseksi tasoksi. Missä tahansa funktiossa x -arvo tai yhtälöön syötetty arvo tuottaa tuloksen, jota edustaa y -arvo. Graafisesti nämä arvot muodostavat käyrän.
Käyrä voi olla joko kovera ylöspäin tai kovera alaspäin riippuen funktion käyttäytymisestä tiettyjen arvojen yli. Kovera ylöspäin suuntautuva alue näkyy kaaviossa kulhomaisena käyränä, joka avautuu ylöspäin, kun taas kovera alaspäin avautuva alue avautuu alaspäin. Piste, jossa tämä koveruus muuttuu, on taivutuspiste.
On olemassa muutamia erilaisia menetelmiä, jotka voivat auttaa visualisoimaan, missä taivutuspiste sijaitsee käyrällä. Jos asetettaisiin käyrälle piste, jonka läpi vedettäisiin suora viiva, joka vain koskettaisi käyrää – tangenttiviiva – ja ajettaisiin tämä piste käyrän kulkua pitkin, taipumapiste tapahtuisi juuri siinä kohdassa, jossa tangentti viiva ylittää käyrän.
Matemaattisesti taivutuspiste on kohta, jossa toinen derivaatta muuttaa merkkiä. Funktion ensimmäinen derivaatta mittaa funktion muutosnopeuden sen syötteen muuttuessa, ja toinen johdannainen mittaa, kuinka tämä muutosnopeus voi muuttua. Esimerkiksi auton nopeus tietyllä hetkellä esitetään ensimmäisellä derivaatalla, mutta sen kiihtyvyyttä – nopeuden kasvua tai vähenemistä – edustaa toinen johdannainen. Jos auto kiihdyttää vauhtia, sen toinen johdannainen on positiivinen, mutta siinä vaiheessa, jossa se lakkaa kiihdyttämästä ja alkaa hidastua, sen kiihtyvyys ja toinen johdannainen muuttuvat negatiivisiksi. Tämä on taivutuskohta.
Tämän visualisoimiseksi graafisesti on tärkeää muistaa, että funktion käyrän koveruus ilmaistaan sen toisella derivaatalla. Positiivinen toinen johdannainen osoittaa koveraa ylöspäin suuntautuvaa käyrää ja negatiivinen toinen derivaatta osoittaa käyrää, joka on kovera alaspäin. Kaaviossa on vaikea määrittää tarkkaa käännepistettä, joten sovelluksissa, joissa on tarpeen tietää sen tarkka arvo, taivutuspiste voidaan ratkaista matemaattisesti.
Yksi tapa löytää funktion taivutuspiste on ottaa sen toinen derivaatta, asettaa se nollaksi ja ratkaista x: lle. Kaikki tämän menetelmän nolla -arvot eivät ole taivutuspisteitä, joten on tarpeen testata arvot x = 0: n kummallakin puolella varmistaaksesi, että toisen derivaatan merkki todella muuttuu. Jos näin on, x: n arvo on taivutuspiste.