Topologia on matematiikan haara, joka käsittelee pintoja tai abstrakteja tiloja, joissa mitattavat määrät eivät ole tärkeitä. Tästä ainutlaatuisesta lähestymistavasta matematiikkaan topologiaa kutsutaan joskus kumilevygeometriaksi, koska tarkasteltavien muotojen kuvitellaan olevan olemassa äärettömän venyvillä kumilevyillä. Tyypillisessä geometriassa perusmuodot, kuten ympyrä, neliö ja suorakulmio, ovat kaikkien laskelmien perusta, mutta topologiassa perusta on jatkuvuus ja pisteiden sijainti toisiinsa nähden.
Topologisessa kartassa voi olla pisteitä, jotka yhdessä muodostavat geometrisen muodon, kuten kolmion. Tätä pisteiden kokoelmaa pidetään tilana, joka pysyy muuttumattomana; riippumatta siitä, kuinka se on kierretty tai venytetty, kumilevyn pisteinä se pysyy muuttumattomana riippumatta siitä, missä muodossa se oli. Tällaista matematiikan käsitteellistä kehystä käytetään usein alueilla, joilla esiintyy usein suuria tai pieniä muodonmuutoksia, kuten avaruuden painovoimakaivoissa, hiukkasfysiikan analyysissä aliatomitasolla ja biologisten rakenteiden, kuten muuttaa proteiinien muotoa.
Topologian geometria ei käsittele tilojen kokoa, joten kuution pinta -alalla on sama topologia kuin pallossa, koska ihminen voi kuvitella niiden kiertyvän siirtymään muodosta toiseen. Tällaisia muotoja, joilla on samat piirteet, kutsutaan homeomorfisiksi. Esimerkki kahdesta topologisesta muodosta, jotka eivät ole homeomorfisia tai joita ei voida muuttaa toisiaan vastaaviksi, ovat pallo ja torus tai munkin muoto.
Määriteltyjen tilojen ydin spatiaalisten ominaisuuksien löytäminen on topologian ensisijainen tavoite. Perustasotason topologista karttaa kutsutaan euklidisten tilojen joukkoksi. Tilat luokitellaan niiden mittojen mukaan, joissa viiva on yhden ulottuvuuden tila ja taso kahden tilan tila. Ihmisten kokemaa tilaa kutsutaan kolmiulotteiseksi euklidiseksi avaruudeksi. Monimutkaisempia tilasarjoja kutsutaan jakotukiksi, jotka näyttävät erilaisilta paikallisella tasolla kuin suuressa mittakaavassa.
Jakajasarjat ja solmuteoria pyrkivät selittämään pintoja monessa ulottuvuudessa sen yli, mikä on havaittavissa kirjaimellisella inhimillisellä tasolla, ja tilat on liitetty algebrallisiin muuttujiin niiden luokittelemiseksi. Tämän homotooppiteorian prosessin tai samanlaisten topologisten tilojen välisen suhteen aloitti ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré, joka asui vuosina 1854-1912. Matemaatikot ovat osoittaneet Poincarén työn kaikilla ulottuvuuksilla paitsi kolmella, missä täydelliset topologioiden luokittelujärjestelmät ovat edelleen vaikeita.