Monia yhtälöitä voidaan yksinkertaistaa laajentamalla logaritmeja. Termi “laajentuvat logaritmit” ei tarkoita logaritmeja, jotka laajenevat, vaan pikemminkin prosessia, jossa yksi matemaattinen lauseke korvataan toisella tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Tällaisia sääntöjä on kolme. Jokainen niistä vastaa tiettyä eksponentin ominaisuutta, koska logaritmin ottaminen on eksponentioinnin funktionaalinen käänteis: log3(9) = 2, koska 32= 9.
Yleisin logaritmien laajentamissääntö on tuotteiden erottaminen. Tuloksen logaritmi on vastaavien logaritmien summa: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Tämä yhtälö on johdettu kaavasta ax * ay = ax+y. Se voidaan laajentaa useisiin tekijöihin: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Luvun nostaminen negatiiviseen potenssiin vastaa sen käänteisluvun nostamista positiiviseen potenssiin: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Vastaava ominaisuus logaritmille on, että loga(1/x) = -loga(x). Kun tämä ominaisuus yhdistetään tulosäännön kanssa, se antaa lain suhteen logaritmin ottamiseksi: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Logaritmien laajentamisen viimeinen sääntö liittyy potenssiin korotetun luvun logaritmiin. Tulosääntöä käyttämällä saadaan selville, että loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Vastaavasti loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Yleensä loga(xn) = n*loga(x), vaikka n ei olisikaan kokonaisluku.
Näitä sääntöjä voidaan yhdistää monimutkaisempien lokilausekkeiden laajentamiseksi. Esimerkiksi loga(x2y/z) voidaan soveltaa toista sääntöä, jolloin saadaan lauseke loga(x2y) – loga(z). Sitten ensimmäistä sääntöä voidaan soveltaa ensimmäiseen termiin, jolloin saadaan loga(x2) + loga(y) – loga(z). Lopuksi kolmannen säännön soveltaminen johtaa lausekkeeseen 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Logaritmien laajentaminen mahdollistaa monien yhtälöiden nopean ratkaisemisen. Esimerkiksi joku voi avata säästötilin 400 dollarilla. Jos tilille maksetaan 2 prosentin vuosikorkoa kuukausittain, niin kuukausien määrä, joka vaaditaan ennen kuin tilin arvo kaksinkertaistuu, saadaan yhtälöllä 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Jaettuna 400:lla tuotot (1 + 0.02/ 12)m = 2. Kummankin puolen 10-kantaisen logaritmin ottaminen muodostaa yhtälön log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Tätä yhtälöä voidaan yksinkertaistaa käyttämällä tehosääntöä m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Käyttämällä laskinta logaritmien etsimiseen saadaan m*(0.00072322) = 0.30102. Ratkaisemalla m:n huomaa, että tilin arvon kaksinkertaistuminen kestää 417 kuukautta, jos ylimääräistä rahaa ei talleteta.