Alkuluvut ovat epätavallinen joukko äärettömiä lukuja, kaikki kokonaisia (eikä murtolukuja tai desimaaleja) ja kaikki suurempia kuin yksi. Kun alkeislukuja koskevia teorioita puolustettiin ensimmäisen kerran, numero yksi pidettiin alkuluvuna. Nykyaikaisessa mielessä kukaan ei kuitenkaan voi koskaan olla ensisijainen, koska sillä on vain yksi jakaja tai tekijä, numero yksi. Nykypäivän määritelmässä alkuluvulla on täsmälleen kaksi jakajaa, numero yksi ja itse luku.
Muinaiset kreikkalaiset loivat teorioita ja kehitystä ensimmäisille alkulukujoukoille, vaikka tästä asiasta saattaa olla myös egyptiläistä tutkimusta. Mielenkiintoista on, että alkuaiheita ei juurikaan koskettu tai tutkittu muinaisten kreikkalaisten jälkeen vasta keskiajan jälkeen. Sitten 17 -luvun puolivälissä matemaatikot alkoivat tutkia alkulähteitä paljon enemmän, ja tämä tutkimus jatkuu tänään, ja monia menetelmiä on kehitetty uusien alkeiden löytämiseksi.
Alkulukujen löytämisen lisäksi matemaatikot tietävät, että niitä on ääretön määrä, vaikka he eivät ole löytäneet kaikkia niitä, ja äärettömyys viittaa siihen, että he eivät voi. Suurimman alkutason löytäminen olisi mahdotonta. Paras, mitä matemaatikko voi tavoitella, on löytää korkein tunnettu prime. Ääretön tarkoittaa, että olisi toinen, ja vielä yksi loputtomassa järjestyksessä sen yli, mitä on löydetty.
Todiste alkeiden äärettömyydestä juontaa juurensa Eukleidesin tutkimukseen niistä. Hän kehitti yksinkertaisen kaavan, jossa kaksi alkulukua kerrottuna yhteen plus numero yksi paljasti joskus tai usein uuden alkuluvun. Eukleidesin työ ei aina paljastanut uusia alkulukuja, vaikkakin pieniä määriä. Tässä on esimerkkejä toimivista ja ei-toimivista esimerkeistä Eukleidesin kaavasta:
2 X 3 = 6 +1 = 7 (uusi alkuluku)
5 X 7 = 35 +1 = 36 (luku, jossa on lukuisia tekijöitä)
Muita menetelmiä alkulukujen kehittämiseksi muinaisina aikoina ovat Eratosthenes -seulan käyttö, joka kehitettiin suunnilleen kolmannella vuosisadalla eaa. Tässä menetelmässä numerot on lueteltu ruudukossa, ja ruudukko voi olla melko suuri. Jokainen numero, jota pidetään minkä tahansa luvun kerrannaisena, yliviivataan, kunnes henkilö saavuttaa ruudukon suurimman luvun neliöjuuret. Nämä seulat voivat olla suuria, ja niiden kanssa on monimutkainen työskennellä verrattuna siihen, miten alkulajeja voidaan käsitellä ja löytää nykyään. Nykyään useiden ihmisten kanssa työskentelevien ihmisten suuren määrän vuoksi tietokoneita käytetään yleensä uusien alkulähteiden löytämiseen ja ne ovat paljon nopeampia työssä kuin ihmiset voivat olla.
Mahdollisen alkuluvun lähettäminen moniin testeihin vaatii edelleen ihmisen ponnisteluja sen varmistamiseksi, että se on ensisijainen, varsinkin kun se on erittäin suuri. On jopa palkintoja uusien numeroiden löytämisestä, jotka voivat olla tuottoisia matemaatikoille. Tällä hetkellä suurimmat tunnetut alkuluvut ovat yli 10 miljoonaa numeroa pitkiä, mutta kun otetaan huomioon näiden erikoislukujen äärettömyys, on selvää, että joku todennäköisesti rikkoo tämän kynnyksen myöhemmin.