Mersennen alkuluku on alkuluku, joka on yksi pienempi kuin kahden potenssi. Tähän mennessä on löydetty noin 44.
Monien vuosien ajan luultiin, että kaikki muodon 2n – 1 luvut olivat alkulähteitä. 16-luvulla Hudalricus Regius kuitenkin osoitti, että 211-1 oli 2047, ja tekijät 23 ja 89. Useita muita vastaesimerkkejä esitettiin lähivuosina. 17-luvun puolivälissä ranskalainen munkki Marin Mersenne julkaisi kirjan Cogitata Physica-Mathematica. Tässä kirjassa hän totesi, että 2n – 1 oli ensisijainen n -arvolle 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ja 257.
Tuolloin oli ilmeistä, ettei hän voinut mitenkään testata korkeampien lukujen totuutta. Samaan aikaan hänen vertaisensa eivät myöskään pystyneet todistamaan tai kiistämään hänen väitteitään. Itse asiassa vasta vuosisataa myöhemmin Euler pystyi osoittamaan, että Mersennen luettelon ensimmäinen todistamaton numero, 231-1, oli itse asiassa paras. Sata vuotta myöhemmin, 19-luvun puolivälissä, osoitettiin, että 2127-1 oli myös paras. Pian sen jälkeen osoitettiin, että 261 – 1 oli myös paras, mikä osoittaa, että Mersenne oli unohtanut vähintään yhden numeron luettelostaan. 20-luvun alkupuolella lisättiin kaksi muuta numeroa, jotka hän oli unohtanut, 289-1 ja 2107-1. Tietokoneiden tultua markkinoille helpotti lukujen alkuluvut vai ei, ja vuoteen 1947 mennessä koko Mersennen alkuperäisen Mersennen valikoima alkuluvut on tarkistettu. Lopullinen luettelo lisäsi luetteloonsa 61, 89 ja 107, ja kävi ilmi, että 257 ei itse asiassa ollut ensisijainen.
Siitä huolimatta hänen tärkeästä työstään perustettaessa perusta myöhemmille matemaatikoille työskennelläkseen, hänen nimensä annettiin kyseiselle numerosarjalle. Kun luku 2n – 1 on itse asiassa alkuluku, sen sanotaan olevan yksi Mersennen alkuluvuista.
Mersennen alkuluvulla on myös suhde täydellisiin numeroihin. Täydellisillä numeroilla on ollut tärkeä paikka numeroperusteisessa mystiikassa tuhansien vuosien ajan. Täydellinen luku on luku n, joka on yhtä suuri kuin sen jakajien summa ilman itseään. Esimerkiksi luku 6 on täydellinen luku, koska sillä on jakajat 1, 2 ja 3, ja 1+2+3 on myös yhtä kuin 6. Seuraava täydellinen luku on 28, jakajat 1, 2, 4 , 7, ja 14. Seuraava hyppää 496: een ja seuraava on 8128. Jokainen täydellinen numero on muoto 2n-1 (2n-1), jossa 2n-1 on myös Mersennen alkuluku. Tämä tarkoittaa sitä, että uuden Mersennen alkuluvun löytämisessä keskitymme myös uusien täydellisten numeroiden löytämiseen.
Kuten monet tämänkaltaiset numerot, uuden Mersennen alkuluvun löytäminen vaikeutuu edistyessämme, koska luvut ovat huomattavasti monimutkaisempia ja vaativat paljon enemmän laskentatehoa. Esimerkiksi, kun kymmenes Mersennen alkuluku 89 voidaan tarkistaa nopeasti kotitietokoneella, kahdeskymmenes, 4423, verottaa kotitietokoneen ja kolmekymmentä, 132049, vaatii suuren määrän laskentatehoa. Neljäkymmentä tunnettu Mersennen alkuluku 20996011 sisältää yli kuusi miljoonaa yksittäistä numeroa.
Uuden Mersennen alkuluvun etsiminen jatkuu, koska sillä on tärkeä rooli monissa oletuksissa ja ongelmissa. Ehkä vanhin ja mielenkiintoisin kysymys on, onko olemassa pariton täydellinen luku. Jos tällainen asia olisi olemassa, sen olisi jaettava vähintään kahdeksalla alkuluvulla ja sillä olisi oltava vähintään seitsemänkymmentäviisi alkutekijää. Yksi sen pääjakajista olisi suurempi kuin 1020, joten se olisi todella monumentaalinen luku. Kun laskentateho kasvaa edelleen, jokainen uusi Mersennen alkuluku muuttuu hieman vaikeammaksi, ja ehkä nämä vanhat ongelmat lopulta ratkaistaan.